聖彼得堡悖論

• Keywords:擲幣游戲
• 組名:沒有組名
• 組員:410411308,應數三,崔永昀

摘要

聖彼得堡悖論是尼古拉·伯努利(Nicola Bernoulli)在西元1738年提出的一個概率期望值悖論，它來自於一種擲幣游戲，即聖彼得堡游戲。

設定擲出正面或者反面為成功，游戲者如果第一次投擲成功，得獎金2元，游戲結束；第一次若不成功，繼續投擲，第二次成功得獎金4元，游戲結束；這樣，游戲者如果投擲不成功就反覆繼續投擲，直到成功，游戲結束。如果第n次投擲成功，得獎金2^n元，游戲結束。按照概率期望值的計算方法，將每一個可能結果的得獎值乘以該結果發生的概率即可得到該結果獎值的期望值。隨著n的增大，概率越小，但是其獎值越來越大，每一個結果的期望值均為1，所有可能結果的得獎期望值之和，即游戲的期望值，將為“無窮大”。

但是，你最多肯付多少錢參加這個遊戲？即便你肯付出大量的金錢去參加這個遊戲。你更可能只賺到2元，或者4元，或者8元等，而不可能賺到無限的金錢。Hacking(1980)說：“沒有人願意花25元去參加一次這樣的游戲。”這就出現了計算的期望值與實際情況的“矛盾”，問題在哪裡?

解釋理論

• 邊際效用遞減論

丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)認為游戲的期望值計算不應該是金錢，而應該是金錢的期望效用，利用“期望效用遞減律”，將金錢的效用測度函數用貨幣值的對數來表示:效用=log(貨幣值)，所有結果的效用期望值之和將為一個有 限值log(4)≈ 0.60206，如果這裡的效用函數符合實際，則理性決策應以4元為界。

• 風險厭惡論

聖彼得堡悖論對於獎金額大小沒有限制，比如說連續投擲40次才成功的話，獎金為1.1萬億元，但是這一獎金出現的概率極小，1.1萬億次才可能出現一次。實際上，游戲有一半的機會，其獎金為2元，四分之三的機會得獎4元和2元。獎金越少，機會越大，獎金越大，機會越小。如果以前面 Hacking所說。花25元的費用冒險參與游戲將是非常愚蠢的，雖然有得到大獎的機會，但是風險太大，因此，考慮採用風險厭惡因素的方法可以消解矛盾。保羅·溫里希(Paul Weirich)就提出在期望值計算中加人一種風險厭惡因數，並得出了游戲費用的有限期望值，認為這種方法實際上解決了該悖論。

• 效用上限論

也有一種觀點認為獎金的效用可能有一個上限，這樣，期望效用之和就有了一個極限值。卡爾·門格爾(Karl Menger)認為效用上限是唯一能消解該悖論的方法。假設效用值等於貨幣值，上限為100單位，則游戲的期望效用為7.56l25。 也許這裡的效用上限太小了，不過我們可以任意選定一個更大的值比如2的25次方。

• 結果有限論

Gustason認為，要避免矛盾，必須對期望值概念進行限制，其一是限制其結果的數目；其二是把結果值的大小限制在一定的範圍內。這是典型的結果有限論，這一觀點是從實際出發的，因為實際上，游戲的投擲次數總是有限的數。比如對游戲設定某一個投擲的上限數L，在投擲到這個數的時候，如果仍然沒有成功，也結束游戲，不管你還能再投多少，就按照L付錢。因為你即便不設定L，實際上也總有投到頭的時候，人的壽命總是有限的，任何原因都可以使得游戲中止。現在設定了上限，期望值自然也就可以計算了。

延伸閱讀

http://wiki.mbalib.com/zh-tw/圣彼得堡悖论

參考資料

https://[baike.baidu.com/item/圣彼得堡悖论](https://baike.baidu.com/item/圣彼得堡悖论)